看好了，世界地图是这么展开的 | No.340

球面的橘子皮剥开后很难展开成平面那么地球又是怎么摊成平面的世界地图的呢？

Q1

为什么热水和冷水倒的时候声音不一样？

by 孜

答：

恭喜你盲生，竟然发现了华点，看来是一枚细心生活的同学。关于这个问题，国内外均有研究团队做了实验并且得出了相关结论。

为什么我们会听到热水和冷水的区别？这取决于声音的频率。综合相关研究来看，倒水时的声音来源主要有三种：容器和水的振动、空气共振以及水声（包括气泡）。当倒入冷水时，主要的声音来源是容器和水的振动，而当倒入热水时，主要的声音来源是空气的共振。

实验表明，热水和冷水会产生相同的频率，但强度不同，这种差异是由于水的黏度差异造成的（类比于蜂蜜可能更容易观察）。

水是有黏性的，一般来说，因为分子摆动的速度减慢，液体的黏度随温度的升高而减小，所以冷水比热水更粘稠。而水溅入到杯子里的方式会受到黏度的影响，从而影响倒水时发出的声音。

另外，不同温度的水容纳气泡的多少、水的密度与表面张力都是可以考虑的因素（冷水被加热时溶解空气的能力会降低，同时表面张力和密度都会下降）。

参考资料：

<1>Velasco C, Jones R, King S, et al. The sound of temperature: What information do pouring sounds convey concerning the temperature of a beverage. Journal of Sensory Studies, 2013, 28(5): 335-345.

<2>Peng H, Reiss J D. Why can you hear a difference between pouring hot and cold water? An investigation of temperature dependence in psychoacoustics//Audio Engineering Society Convention 145. Audio Engineering Society, 2018.

<3>Viscosity.

by 十七

Q.E.D.

Q2

拓扑绝缘体是啥？有什么应用？

by 呵呵

答：

拓扑绝缘体是一类特殊的绝缘体。它与正常绝缘体的区别在于，拓扑绝缘体的内部不导电但表面有着可以导电的表面态。拓扑绝缘体的这种特殊效应是它的特殊的拓扑能带结构导致的。

我们知道，在固体物理中，电子的动量-能量关系由能带论描述，电子所能占据的最高能级称为费米能级。根据能带填充的程度不同，材料被分为导体、半导体和绝缘体。当费米能级位于导带和价带之间时，因为费米面处在能隙中，可以参与导电的电子态密度为0，因此无法导电，被称为绝缘体。而对于拓扑绝缘体，其内部体态的能带结构与普通绝缘体相似，而其表面存在着一条可以导电的边界态，因此可以通过表面态进行导电，如下图所示。这条可以导电的表面导电通道，通常是由于导带-价带能带反转或者自旋轨道耦合造成的。对拓扑绝缘体的能带空间做Berry曲率的积分可以得到非零的拓扑陈数，而普通绝缘体的Berry曲率积分为0，类似于三维球体与二维平面的高斯曲率积分的区别。这种拓扑能带结构由拓扑陈数保护，因此有着很强的鲁棒性。

由于拓扑绝缘体有着可以导电的表面态，其电流方向与电子自旋方向相关联，因此可以用来制作相关的自旋电子器件。此外，其特殊的拓扑能带结构引入了很多新奇的性质，例如拓扑量子计算等，还有很多性质等着研究。

参考资料：

<1>Colloquium: Topological insulators. M. Z. Hasan and C. L. Kane Rev. Mod. Phys. 82, 3045 – Published 8 November 2010

by 单身男青年 有意请留言

Q.E.D.

Q3

世界地图是怎么从地球展开的？有没有和现在地图不同的展开方式？

by 飞廉

答：

地球是三维球体，而地图就是将三维表面上的坐标投影到二维表面上。为了更好的反映地球表面的信息，地理学家们在多种因素中进行了取舍，发明了多种多样的投影方法。首先，我们最为熟知的应该就是墨卡托投影了。墨卡托投影是一种正轴等角圆柱投影，由荷兰地图学家墨卡托(G.Mercator)于1569年创立。假想一个与地轴方向一致、半径相同的圆柱切于地球，按等角条件，将经纬网投影到圆柱面上，将圆柱面展为平面后，即可得到墨卡托投影。

墨卡托投影把纬度为Φ (-90°<Φ<90°)的坐标投影到 。其中，当Φ<0时，sign(Φ)=-1；当Φ=0时，sign(Φ)=0；当Φ>0时，sign(Φ)=1；|Φ|是Φ的绝对值。墨卡托投影带来了很严重的面积失真，可以看到，越靠近地球两极的地方，其面积在墨卡托投影地图上增益越强。216万平方公里的格陵兰岛，由于其纬度较高，在地图上看起来竟和面积3022万平方公里的非洲大小相仿。不过，在面积失真外，墨卡托投影肯定是有着其独特的优势。在大航海时代，航海家们需要可以方便指明航线的地图。由于墨卡托投影是圆柱投影，保持了经线纬线在投影地图上的垂直，因此地图上的一条直线和经线的夹角始终是相同的。航海家们只需要在地图上找出当前位置和目的地连线与经线的夹角，就可以一直保持该夹角航至目的地。这种航线也被称为等角航线。虽然等角航线并不是最短航线，但在大航海时代是最容易做到的，因此墨卡托投影地图也广为流传。

除了墨卡托投影，地理学家们还发明了多种其他的投影方法。例如埃托夫地图投影，采用椭圆形经纬网的折衷投影，适用于绘制小比例的世界地图。还有贝尔曼投影，是圆柱等积地图投影的一种，其标准纬线设置为南北纬 30°。由于其等积的属性，它可以高度压缩极地地区。如果想要了解更多投影方法的话，可以查阅参考资料中的文章哦。

由于三维球表面和二维平面的高斯曲率不同，因此无法将球面等距投影到平面上。微分几何中的Theorema Egregium解释了为什么各种投影方法都会造成失真，它可以表述为：表面的高斯曲率在局部等距下是不变的。二维平面的高斯曲率为0，而三维球面的高斯曲率为1/R^2。由于三维球表面和二维平面的高斯曲率不同，因此无法将球面等距投影到平面上。这其实跟本期问答中的“拓扑绝缘体是啥”中的拓扑绝缘体能带类似。其实，数学、物理乃至地理，学科之间都是有相通之处的！

参考资料：

<1>科普 | 25种地图投影类型：视觉参考指南

by 单身男青年 有意请留言

Q.E.D.

Q4

清晰度上的蓝光1080P和光学意义上的蓝光有什么关系？

by 哈哈哈

答：

1080P和蓝光其实是不同范畴的两个概念。1080P（和720P、4K等）指的是视频的分辨率，是视频的性能参数，蓝光则是一种技术手段。之所以强调蓝光，是因为早期的电影在刻DVD时是用的650nm红光刻录。受衍射极限的限制，光盘相邻两行存储信息的沟道之间的物理距离不能小于波长。因为红光波长比较长，所以信息存储密度做不到特别高，一张光盘存一部电影的话只能降低分辨率。后来，人们开始使用405nm的蓝紫色刻录光盘来存储电影。由于波长变短、信息密度提高，一张光盘就可以存储下一部更高清的电影——一般是1080P或4K。所以说，所谓“蓝光光碟”就是指用蓝色激光刻录的光盘，这种光盘存储的电影通常比较高清。

by 藏痴

Q.E.D.

Q5

地球明明在转转但为什么星星看起来是静止的？

by 祯士贞

答：

星星当然会动啊，它和日月一样也会东升西落，这也是由于地球自转导致的。如果我们把整个星空看做一个包着地球的天球，那么地球自西向东地自转也可以看做天球自东向西地转。以蓝色的线标注天球的经纬度，那么以北京的星空为例，可以画出这样的示意图。

这些蓝色线会有一个汇聚点，叫北天极，有一颗星正好靠近北天极，叫北极星（勾陈一）。所有星星看起来都绕着北天极旋转，这是因为北天极所在的方位正是地球自转的转轴。绿色线是以北京所在位置的地平面为基准画的半球，它的汇聚点代表北京正上方的天顶。因为北京在北纬40°，所以绿色点和蓝色点的高度角差了50°。

星星运动得很慢，就像太阳和月亮，在短时间内你觉得它悬在空中，但长时间看它是会动的，尤其是用望远镜看的话，如果固定镜头方向，那么星星会在几分钟内跑出镜头视野。

如果你看得足够仔细，还能发现月亮动的速度比其他星星要慢，这是因为月亮自西向东的公转方向与天球自东向西的转动方向相反。

把这些星星的运动轨迹叠加，就会得到流光溢彩的星轨照片。比如下边这张是朝着西北方向拍的。

这张则是朝着东北方向拍的。

by 牧羊

Q.E.D.

Q6

电磁波是变化的磁场和电场不断激发，那么除了复合正弦函数形式的电磁波，有没有复合其他函数形式的电磁波，比如双曲函数形式的？

答：

很有趣的问题。我们平常说“电场和磁场互相激励产生电磁波”，这里“激励”在数学上的描述是求导，这也就是说，“电场激励出的磁场又激励出了电场”这句话，在数学上可以理解为“电场函数（对时间或空间）求导再求一次导又变回了原来的函数形式（至多差一个相位）”。满足这样求二阶导而形式不变的函数，常见的只有指数函数，以及可以用它表示的三角函数 和双曲函数 （这里都只用相应的正弦做代表）。其中，只有三角函数是有界的，而指数函数和双曲函数都是发散的。但是物理学不喜欢发散，这至少意味着能量不守恒。所以电磁波是正弦函数就是理所当然的了。

by 藏痴

Q.E.D.

Q7

叶绿体为什么是绿的？

by 达尔文

答：

作为绿色植物能量的重要来源细胞器，叶绿体因其类囊体膜上存在大量进行光合作用所需的绿色色素而显示出绿色。

如图，叶绿体由双层膜包裹，其内部是一个悬浮在基质之中的复杂膜系统<1>，而其中像一个个“馕”叠在一起的是基粒，而其中的每一个“馕”就是一个类囊体。在类囊体膜上广泛分布着光合作用所需的叶绿素以及电子传递体。

光合作用是绿色植物在光能的存在下，将水和二氧化碳转化为糖和有机物的过程，其反应方程式如下：

其中 代表糖，而星号标明了产物中的氧气来源是反应物中的水。

上述反应不会自发发生，只有光能的存在才能启动该反应。可见，绿色植物必须要想办法以一种尽可能高效的方式来吸收光能，这就给叶绿素最终选择了绿色提供了合理的解释。

由于太阳光的光谱中，蓝色附近存在最大的谱能量，所以在漫长的生物进化过程中，绿色植物选择更多地去吸收蓝光，从而获得最大的能量效率。

从图中可以看出，叶绿体中的两种叶绿素的吸收峰都不约而同地与太阳光谱中辐射峰有着比较大的重合，从而使得其可以为植物的光合作用进行效率最高的供能。而由于这两种叶绿素都不吸收绿光，也就是其将绿光全部反射，同时又由于我们看到物体的颜色都是其反射出来的颜色，所以叶绿素就是绿色的，从而叶绿体也就是绿色的啦

参考资料：

<1> 陈阅增.《普通生物学》（第4版）.高等教育出版社，2014年.

by Callo

Q.E.D.

Q8

牛顿第一定律F=kma中k取1，那如果k=2,3,4.....这个世界会发生啥？

by 牛顿这个老六

答：

物理学不会有什么问题，但是牛顿可能会有问题……

调整这样一个无量纲系数，对物理学的结构并不会有什么影响，基本物理量还是现在的这七个，其他物理量与基本物理量的关系也不会变，变的无非就是力和相关量的数值，让1kg物体产生加速度的力变成了2N、3N……即使是有量纲的常数，调整起来也并不费力。在高能物理学常用的自然单位制中，光速c和约化普朗克常数 就都被设成了1——甚至连量纲都被抹去了。这样“不讲理”的操作也没有在本质上改变什么。先扔掉常数简化推导，推导完成以后再把系数恢复过来就行了。还有一个类似的例子是，考察下面边长为a的正方形及其内接圆，圆面积 ，正方形面积 ，两个都符合公式 ，除了系数k没有其他区别。如果我们强硬地令 ，那么圆面积就变成了 ，正方形面积 了。

对于上面这通“化圆为方”的操作，大多数人的态度可能都是“可以，但没必要”、“太反直觉”。如果牛顿真的把第二定律的系数取成不是1的什么数，那么这可比化圆为方更没必要、更反直觉了。尤其是，作为物理学的地基、当时世界上少数几个定量公式，牛顿第二定律几乎完全不用考虑与其他公式的自洽耦合。这种情况下，如果牛顿还给第二定律的系数画蛇添足地写了个大大的“2”，那么我可能真的会怀疑，引力定律和微积分是不是从胡克和莱布尼兹的书桌上偷来的了（狗头）。

by 藏痴

Q.E.D.

十七、单身男青年 有意请留意、藏痴、牧羊、Callo

编辑：牧羊