早在1917年，阿尔伯特·爱因斯坦就已经成名，成为一个家喻户晓的名字，确切地说，应该是“爱因斯坦”。
他计算出了原子的大小，发现了质量和能量的等效性，开创了量子物理学的时代，并引领了一种被称为“羊毛卷新星”的发型……他的经历和成就实在令人印象深刻，而他自己引以为傲的成就，无疑是创立了广义相对论。这是一个无比优雅的等式，是一次宇宙探索之旅，是对牛顿力学的一记漂亮的回旋踢。
爱因斯坦在广义相对论中描述的真相如此惊世骇俗，以至于《纽约时报》的文章中甚至表达了对它可能把“乘法表”都推翻的担忧。而关于广义相对论的一切，都建立在一个简单的认知之上：宇宙不仅仅是一个装着恒星和行星的盒子，在物质存在的情况下，它会弯曲，也会变形。
《欢乐数学之疯狂微积分》，天津科学技术出版社2022年10月版，<美>本·奥尔林（BenOrlin）著，唐燕池译。
叮，又到了思维实验的时间。想象一下这个画面：我正懒洋洋地坐在树桩上，看着一束光以每秒3亿米的恒定速度划过。与此同时，你乘着星舰a以惊人的速度追逐那束光，以每秒2亿米的速度从我身边经过。
那么，光是先远离我还是先远离你呢？
这个问题是一个陷阱！
我们都知道，光速是一个恒定的常数。它始终是每秒3亿米a，不会为任何人改变，现在不会改变——即使在面对速度超快的你时，也不会改变。相反，在这个过程中，改变的是一些更柔软、更有韧性的东西，也就是空间和时间的结构。从我坐着的树桩的角度来看，光甩开你3亿米需要3秒钟。从你在“进取号”星舰b上的角度看，光甩开你3亿米只需要1秒钟。这样一来，我的怀表走的速度就比你快了2倍。
是的，运动可以重塑时间。
是不是开始感到头晕了？
那你就为下一步做好了准备：物质也能重塑空间。
例如，太阳并不像盒子里的保龄球那样静止不动，而是像床垫上的保龄球，压在织物上，扭曲了周围的时空区域。因此，当一颗行星绕太阳运行，或一个苹果朝地球的方向坠落时，它们并不会陷入某种牛顿引力无法解释的痛苦之中，只是在沿着阻力最小的路径穿过一个弯曲的四维空间而已。
物理学家约翰·惠勒（JohnWheeler）说：“物质告诉时空该如何弯曲，而弯曲的空间则告诉物质该如何运动。”
1915年11月，爱因斯坦从以上这些事实中提炼出了引力场方程。
物理学家卡洛·罗韦利（Carlo Rovelli）写道：“尽管这个方程写出来不过半行，但在这个等式中，存在着一个丰富多彩的宇宙。”引力场方程预测光会在重的物体周围弯曲；相比谷底的时间，山顶的时间会膨胀；引力波可以在宇宙中传播，大恒星会坍缩成奇点（后来被称为“黑洞”）……“一连串梦幻般的预言，如同一个疯子的呓语，”罗韦利写道，“但最后都被证明了是真的。”
然而，即便这个等式就像从魔法棒中冒出来的守护神一样发出了新的预言，爱因斯坦仍然不太满意。
诚然，广义相对论可以描述绕着轨道运行的行星和弯曲的光子，但这些都是有限的有界系统，只是宇宙的一部分。爱因斯坦在给同事的信中写道：“相对论的概念是否可以一以贯之，还是会导致矛盾？这个问题急需解决。”他现在想要的是终极大奖，是所有狂欢节上那只最大的泰迪熊。
那么，广义相对论真的能描述整个宇宙吗？
这个问题非常符合积分学的精髓，它体现了从“很多很多的小东西”到“一个大的整体”的飞跃。
事实上，它确实涉及了积分问题；尽管爱因斯坦在1917年发表的著名论文中采用的是一个不同的解法，但在1918年，他发现自己实际上还是在求积分。爱因斯坦更喜欢这个求积分的新公式，他写道：“新的公式有一个巨大的优势，那就是……量作为积分常数出现在了基本方程中。”
这里的“量”指的是什么呢？别着急，我们晚些时候会说到。现在先聊聊，积分常数是什么。
关于这个问题，如果你问一个正在学微积分的学生，答案就是每个不定积分后面烦人的“+C”。这个花哨的符号与你正在计算的积分无关，但根据一些不成文的规定，你永远不能忘记“+C”，否则就会被小气又死板的阅卷老师扣分。
这个常数从何而来？正如我们在前文中讨论过的，积分和微分是互逆的运算过程。求积分时，我们会看着那个函数，然后问自己：它的导数是什么？
假设一个跑步者以每小时7英里的稳定速度行进。速度图是这样的：
那么积分呢，也就是位置图？嗯，以下是其中一种可能性：
然而，这不过是一个假设，假设跑步者在正午时分从家里出发。实际上，我们真的不知道这场赛跑是从哪里开始的。也许是离家1英里、2英里、7英里……又或许是在相反的方向上离家3.5英里，这样就会在中午12：30到家。这样的位置函数可能有无数个，除了加上或减去某个固定的距离，而它们中的每一个都长得一模一样。可以是7x、7x+1、7x+2、7x+3…
为了不耽误大家享用晚餐，我就不一一列出那无数的可能了，而是用简单的公式7x+C来概括这个大家族。
在这里，“C”就是一个积分常数，是“任何数字”的缩写。只需一笔，它就能把一条曲线变成无穷大的家族。不过，也正是因为这样的简洁干练，容易让人忽略它的力量和内涵。
当然，爱因斯坦可不会忘记这个常数。拜托，我们谈论的可是有史以来不用梳子的最伟大的科学家之一。不过呢，他犯了一个更难以察觉但更严重的错误。
“我要带领读者走一遍我走过的路，”爱因斯坦在他1917年发表的论文中写道，“这是一条崎岖不平的路。”事实上，他就像在迷宫般的单行道上前行，在数学的拐角处屡屡受挫。
爱因斯坦第一次尝试描述整个宇宙时，得出的结论与已知的事实相矛盾。在第二次尝试中，他需要明确一个“正确的”参照系，这又违背了“相对论”的内涵。在第三次尝试中，他采用了一个同事的建议，然而，得到的结果是“没有解决问题的希望，就相当于放弃”。他那著名的方程式并没有提供足够的灵活性。
最后，爱因斯坦只能通过引入一个积分常数来挽救他的模型：Λ。这是一个希腊字母；爱因斯坦实际上用的是小写的λ，由此可见，他对它或许缺乏尊重。不管怎样，λ就此成为宇宙哲学意义上的常数。
事实证明，这是一个完全有效的数学动作，也是一个不可或缺的动作：没有λ，这个模型就崩溃了。这个模型预测的可以是一个收缩的宇宙（如果周围环绕着很多物质），可以是一个膨胀的宇宙（如果周围没有很多物质），也可以是一个完全无物质的宇宙（以一种可悲、空洞的方式保持不变的大小）。在这样的情况下，只有一个具体的、能够精密调整的λ值才能让爱因斯坦描述出他所理解的宇宙，即一个包含物质且大小不变的宇宙。
尽管如此，爱因斯坦仍然感到为难，因为现在整篇论文读起来有点像写给λ的道歉信。他认为这是广义相对论的一个缺陷，它拙劣地把问题复杂化了。λ的必要性让他感到沮丧，就如同一个汽车引擎只有在某种引擎盖的装饰下才能正常运行一样。
这样的情况持续了十多年。1929年，天文学家埃德温·哈勃带来了一条超级大新闻，事实上，如果以立方米为单位来衡量新闻的尺寸，那这应该是有史以来最大的新闻。
哈勃发现，大家此前所说的“那个宇宙”并不是真正的宇宙，只是我们所在的星系——银河系。夜空中那些模糊的螺旋状星云实际上是其他星系，它们的大小与我们的银河系相似，但距离我们有几百万光年，其中大多数还在继续远离我们。因此，宇宙不仅比我们想象的要大得多，而且每时每刻都在膨胀，宇宙中的星系就像一块正在发酵的面包里的葡萄干一样在分离。
不断膨胀的宇宙意味着λ现在可以等于零，尽管它并不一定等于零。这对爱因斯坦来说已经足够了。没有片刻的犹豫或不舍，他果断抛弃了λ，称它“在理论上不令人满意”，并宣布它就是零（不知道是不是与此相关，爱因斯坦在恋爱分手时也这样不留情面）。他后来写道：“如果哈勃的膨胀说在广义相对论创立之时就被发现了，那么这个宇宙学成员（指的是λ）就永远不会被引入。”据他的朋友乔治·伽莫夫（GeorgeGamow）说，爱因斯坦曾坦言“宇宙学常数的引入是他一生中犯下的最大错误”。
一些人认为，爱因斯坦把未能预测宇宙的膨胀归咎于λ，而这本该是广义相对论皇冠上的宝石。不过，几乎没有证据表明他是这么想的。爱因斯坦野心勃勃地研究宇宙学，目标很明确，就是要证明广义相对论可以建立一个具有普适性的模型，而且他从来没有哀叹过什么“失败的预测”。相反，他对λ的怨恨似乎来自一种个人的审美偏好，即积分常数应该等于零，就像那些坚持认为小孩不应该出现在公共场所的人一样。
不管爱因斯坦到底为什么评价λ是他犯下的“最大错误”，他真正的错误其实是这个评价本身。
1998年，人们发现宇宙不仅仅是在膨胀，而且这样的膨胀正在加速。如同平地一声雷，沉寂了半个世纪的宇宙学定律复活了——它甚至以大写字母的姿态重回人们的视野。如今看来，Λ根本不是零：它捕捉到了“暗能量”的存在，这是空旷空间里的一种特殊存在，与引力相抗衡。根据我们目前的探索，它占据了宇宙质量总和的68%。因此，爱因斯坦的积分常数不是一个可以忽略不计的错误。毫不夸张地说，它占了宇宙质量总和的三分之二。
从来没有人说过爱因斯坦是一个完美的数学家，尤其是爱因斯坦本人。“不要畏惧你在数学上遇到的困难，”他给一个12岁的笔友写道，“我可以向你保证，我遇到的困难比你还大。”有一本名为《爱因斯坦的错误》（Einstein’s Mistakes）的著作声称爱因斯坦20%的论文有实质性的错误（希望不要有人写一本书名为《奥尔林的错误》，专门挑我的错误）。弗里兹·诺瓦（Frizz Nova）对此不以为意，他打趣道：“从来没有犯过错误的人，应该是从来没有尝试过新东西。”
这就是积分常数。它们很容易被忽视，也很难诠释。有时候它们真的是零，而其他时候，它们其实暗含着关键信息。初学者可能会不小心忘记这个积分常数；而相比之下，科学家没有忘记它，他们返回去删除了它，并坚持认为它必须一直是零。
我不知道你们是怎么想的，但是对我来说，爱因斯坦的故事让我非常高兴能参与这个曲折的、不断膨胀的宇宙之旅。在这个旅程中，即使是常数，也在讲述着变化的故事。
（本文节选自《欢乐数学之疯狂微积分》一书，天津科学技术出版社出版，未读出品，2022年10月版，作者本·奥尔林（Ben Orlin），是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章，已出版作品《欢乐数学》。本书译者为唐燕池。澎湃科技获授权刊发。）
