拓扑世界
走马人生未几何
高峰壑谷锦芳多
铺开拓扑寻深处
峻崄平凡尽是歌
01
引子
历史长河中，人类有很多伟大的科学发现与技术创造。编者以为，门捷列夫的《元素周期表》就可算一伟大的发现与创造，且属双星闪耀。有此表在手，我们以为就可以中军点检大地山水了，而很多学者亦为改进和填充此表只争朝夕。事实上，《元素周期表》中的每一个元素，都有其来龙去脉和前世今生。每一个元素，都可以成为我们或咀嚼不尽或茶余饭后的对象。那些历史和内涵都是科学最好的表达与精神。
当然，我们更可以围绕每一个元素调侃和评头论足，那也是科学的乐趣和科普的味道。大约十八年前，编者有过一番关于元素硅 (Si) 的谬论：
这个非晶 SiO2 对其它绝缘层，就象 Si 对其它半导体一样，那是个没法说的宝贝。而Si 在当今信息社会中之所以能够成为没有亚军的冠军小姐，就是因为后面有这个 SiO2 作男朋友。否则，GaAs 早就是冠军小姐了。也就是说，目前没有第二种绝缘材料能够代替非晶 SiO2，主要是介电、漏电、稳定性等等问题配合得天衣无缝。所以，我们现在大搞 high-k dielectrics，看看吧，搞出了比 SiO2 更漂亮的没有？没有！！！！！！！！唉。
问题是 SiO2 总是要老的，人老珠黄啊。在她减肥到 1 ~2 nm 薄时，量子力学说：我看透你了！
那时候的编者，不知天高地厚，言辞却之不恭，令人脸红。不过，刘嘉希和王磊两位年轻作者，却有另外一番针对元素铍 (Be) 的说辞，那却是本文编者早前的浅薄言语所不能比拟的。
好，编者按下不表，且听刘、王二位如何玩 铍！
02
奇妙的铍
说到金属铍，读者们可能并不陌生。它是元素周期表中的第 4 位元素，原子量为 9，是最轻的元素之一。然而，您可能未必非常了解金属铍背后的故事。
金属铍的发现要追溯到1798 年。法国矿物学者赫羽依 (R. J. René Just Haüy) 发现绿宝石与绿柱石 (图1) 的光学属性几乎一样。于是，他要求路易·尼克拉·沃克兰 (Louis Nicolas Vauquelin) 对它们做一些化学分析。Vauquelin 证实这两种物质均包含一种新元素。如您所料，这一新元素就是后来元素周期表中的Beryllium (铍，元素符号Be)。
然而，这并不是它最初的名字。最开始这种新元素被称为 ‘glucinium’，可以理解为“甜素”之意，乃源于含有这种新元素的盐类物质尝起来有些甜味之故。直到 1828 年，德国科学家弗里德里希·维勒 (Friedrich Wöhler) 提纯了这种新元素，才将它命名为 Beryllium (铍) <1>。
图 1. 绿宝石和绿柱石，其中均含有铍元素 (化学式：Be3Al2(SiO3)6)。<图片源自网络>
铍是一种奇妙的元素，不只是奇妙在它的甜味上，还奇妙在它奇异的物理化学性质和工业应用中。上世纪 20 年代，人们发现，2% 铍含量的铍铜 (BeCu) 合金之强度可达到纯铜的 6 倍。这一合金还能应用到高温、高硬度、高耐腐蚀性环境中，并且在撞击时不产生火花，还没有任何磁性。使用这种合金制成的弹簧甚至可以实现无限次压缩，制成的防爆锤广泛应用于炼油厂或一些需要特别防火防爆的工厂。
随后，铍在核反应中的应用也被陆续发现。用 α 射线轰击铍金属，致使铍原子核瓦解，释放出大量中子。这一现象给很多物理人捡了很多便宜。例如，1930 年初，詹姆斯·查德威克 (James Chadwick) 领导的团队正是利用这一反应发现了中子，并买了去斯德哥尔摩的火车票。铍粉末和镭盐的混合物，每秒可产生几十万个中子，而中子又是轰击原子核使其发生裂变的最好“炮弹”。意大利人恩利克·费米 (Enrico Fermi)，就是利用镭-铍源发现了铀裂变的科学事实。这一结果成为后来制造原子弹的实验根源之一 (理论根源，坊间流传是爱因斯坦那个大大的 E = mc2) <1, 2>。
事实上，铍本身就可制成简单的中子源，无须讳言中子源在核电站启动、核武器起爆、机械及地质勘测以及肿瘤治疗中都会发挥巨大的作用。铍还是优越的中子反射材料。中子打到铍上，会被反射回去。这样既能防止中子泄漏，又可避免中子损失，从而提高反应堆效率。铍还对X射线完全透明，可被用于X射线管这类应用材料的“光窗”。除此之外，铍还广泛应用于航空发动机、精密仪器、电子继电器、开关和相机快门等相关工业领域。总而言之，说铍也是“罄竹难书”，并不为过。
尽管铍有很多奇妙的性质和重要的工业应用，但是它有一个显著的缺点，便是有毒。无论是单质铍，还是铍的化合物，都有很强的毒性。铍中毒还是不可逆的，以肺纤维化、肝、脾、肾、骨骼损伤为主。吸入、接触、食入都会导致急性或慢性中毒。所以，日常生活中我们都一定要严格隔离铍。可能也正因为如此，对铍的研究还是多少受到一些阻碍，从而给了后来大无畏者机会。
虽然铍的各项应用与研究已经非常深入而广泛，但对它的理解还有一些历史谜团没有揭开。上世纪 80 年代中期，人们使用同步辐射对铍的 (0001) 表面电子结构进行了角分辨光电子能谱测量，发现其表面态与其它金属的表面态大为不同，严重偏离近自由电子模型 <3>。接下来几年的研究中，人们不断地证实这一谜题确实存在，但对其根源的解释依旧是一头雾水。
一波未平，一波又起。1997 年，人们利用扫描隧道显微镜在其表面观察到大幅度电子密度振荡，表现为反常的弗里德尔振荡 <4>。这使得原本神奇的铍金属又披上了一层神秘的面纱。接二又连三，上个世纪末，对铍表面的高分辨率角分辨光电子能谱测量，揭示出由于与表面声子模式耦合，费米波矢附近的光谱显示出一个很强的准粒子峰，导致表面出现巨大的电-声耦合反常增强效应 <5>，再一次给这种看似简单的金属增添了另一个科学谜题。
在过去的几十年里，对铍的这些奇异性质的探索从未停止，并且引发了长期争论。早期有理论认为，铍表面的特殊现象与其巨大的原子弛豫有关 <6>，但接下来的工作表明这种理论并不合理，与诸多实验及其他理论结果相矛盾。铍的特殊性质之根源依然是困扰物理人的难题。
最近，拓扑物理的进展，为揭开金属铍的这些奇妙反常现象提供了钥匙。本文基于沈阳材料科学国家研究中心最近的两项姊妹篇工作，初步揭示了金属铍物理性质的若干谜团。这两篇工作最近分别发表于《Phys. Rev. Lett.》上 <7, 8>。承蒙读者错爱，可分别访问:
(1) https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.096401
(2) https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.136802
御览一二。
03
拓扑与拓扑节线半金属
时间回到 1994 年。当时正在橡树岭国家实验室工作的沃德·普卢默 (E. W. Plummer) 发表了一篇有关铍金属表面性质的综述论文 <9>。文中他用了两个词 “remarkable” 和 “disappointing” 来表达有关铍表面性质的问题。首先，他感到吃惊的是基于量子机制的第一性原理计算对铍一些性质的计算结果很好地与实验一致。其次，他发现对这些性质的物理起源却存在很多争论，一直没有一致的答案，并为此深感失望。自 E. W. Plummer 发表该综述文章开始，时光逝去又二十余年，对金属铍表面性质的理解才逐步浮出水面，使得我们相信真相就在眼前。
当然了，故事还得从拓扑开始，就好像说“拓扑是宣传队、播种机，是革命的观念”！
说到拓扑学，不得不先提到扭结理论。《易经》有载：“上古结绳而治，后世圣人易之已书契”。几千年以前，古人就有以绳结记事的习惯。如今，我们则利用时空扭结的拓扑不变量来刻画不同种类的粒子。文小刚在其“问世间结为何物”一文中曾写道：“如果我们有两团自相缠绕的绳圈 (数学上也叫扭结)，它们能不能通过连续变形变到另外一个？注意，这里可不能像亚历山大大帝那样用剑把绳子砍断后再把他们接起来”。
图 2. 三组拓扑等价的物品。<图片源自网络>
文小刚所说的问题是一个十分有趣的数学问题，解决方法就是找到一个巧妙的算法：当扭结连续变形时，这个数必须保持不变，这个数就是扭结的拓扑不变量。一直到 1984 年新西兰数学家沃恩·琼斯 (Vaughan Frederick Randal Jones) 发现琼斯多项式后，这个不变量的问题才被解决。琼斯也据此将一项菲尔兹奖收入囊中。形象地说，如图 2 所示，在不撕裂和重新粘合的情况下，通过连续变形，可以将 A 变成 B。既然如此，我们说拓扑学上 A 和 B 就是同一个东西。
注意到，物理人尤金·维格纳 (Eugene Paul Wigner) 在《数学在自然科学中不合理的有效性》<10> 一文中写道：“数学语言在表述物理定律时所表现出来的适当性是一个奇迹、一个我们既不理解也不应得的奇妙天赐”。数学中的拓扑学，对物理来说，就是这样一个神奇的天赐。1982 年，华盛顿大学物理系的戴维·索利斯 (David Thouless) 等人，将数学中的拓扑概念与电子波函数的“相位”联系起来 <11>，对电子波函数进行拓扑性质的分类，成功解释了整数量子霍尔效应。这是物理学史上首次将拓扑概念引入凝聚态物理中。不过，索利斯并未由此一下子声名显赫，他依然优雅地教他的书、做他的研究。而拓扑的研究也不过是星星之火，很长时间未能燎原。
2007 年，第一个二维拓扑绝缘体材料出现，拓扑凝聚态才在理论和实验上进入迅猛发展期。可谓是“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家”，也才有戴维·索利斯 (David Thouless)、邓肯·霍尔丹 (Duncan Haldane) 和迈克尔·科斯特利茨 (Michael Kosterlitz) 2016 年分享诺贝尔物理学奖，颁奖词是：理论研究发现了物质的拓扑相变和拓扑相。
好的东西，总是如此惜字如金，却字字千钧！我们需要阅读一些科普，以释放这重量。
晶体材料，按照电子结构不同，可划分为金属和绝缘体两大类。电子在填充能带过程中，如果在费米能级附近形成能隙，那就是绝缘体或者半导体；如果产生部分占据的能带结构，则是金属。因为拓扑的引入，绝缘体又可进一步分为一般绝缘体和拓扑绝缘体；金属也分为一般金属和拓扑金属。事实上，2005 年，查尔斯·凯恩 (Charles Kane) 和尤金·迈乐 (Eugene Mele) 在石墨烯中预测了量子自旋霍尔效应 <12>。自此以来，拓扑绝缘体、拓扑半金属和拓扑超导体等拓扑材料吸引着大家的兴趣。随着拓扑材料研究的深入，根据对称性、能带简并以及动量空间中的连接方式等，可对拓扑材料进行更细致的分类。其中，拓扑绝缘体包括：时间反演 <13,14>、镜面对称 <15>、非点群拓扑绝缘体 <16> 等。拓扑半金属包括：狄拉克 <17>、外尔 <18>、节线态拓扑半金属 <19> 等。还有一些其他类型的费米子体系 <20>。
在这些拓扑材料中，拓扑节线半金属是十分有趣之一类。它有许多不同的特性：第一个特性来源于其特殊的能带结构。虽然从分类上来说，拓扑节线半金属类似于拓扑节点材料中的狄拉克和外尔半金属，也可以分为狄拉克和外尔节线半金属材料。但是，与这两种拓扑节点半金属不同的是，它的价带与导带的交点可以在布里渊区中连续分布，形成闭合回路。因此，拓扑节线材料需要使用多组拓扑不变量来进行严格定义。这一拓扑的来源则在于晶体场和化学键共同作用，产生能带反转，能带相交形成拓扑节线。一般情况下，都是通过薛定谔方程中的哈密顿量来描述拓扑狄拉克节线。在动量空间中，这一节线具有连续性和对称性，而自旋-轨道耦合会造成连续性和对称性的破缺。也因此，拓扑节线量子态只存在于自旋-轨道耦合效应很弱的系统中。
拓扑节线态的另一个特性就是在表面上存在拓扑非平庸的鼓膜状表面态。如果在拓扑节线半金属材料中引入较强的自旋-轨道效应，它的能带反转仍然存在，但节线态会遭到破坏。此时，拓扑节线可能被完全打开形成能隙而变为拓扑绝缘体，也可能离散为某些交点而变为狄拉克半金属或外尔半金属。拓扑节线半金属可认为是拓扑绝缘体与普通绝缘体或普通金属的中间态，它的出现不仅完善了拓扑材料的理论体系，也让人们对能带理论有了更加全面的认识。同时，拓扑节线态导致的拓扑非平庸鼓膜状表面态，一般出现在费米能级附近。这一特点使得表面费米能级附近出现巨大的电子态密度，许多特殊的物理性质都与这一现象相关。
04
拓扑节线半金属：铍
“他山之石，可以攻玉”。拓扑物理学的发展，为金属铍若干科学谜题的解决提供了很好的契机。我们知道，拓扑节线需要在弱自旋-轨道耦合体系中寻找。自旋-轨道耦合的强度与原子序数正相关，一些质量很轻的元素的自旋-轨道耦合效应对于电子能带的影响可以忽略不计，而铍恰好是一种质量很轻的金属元素。另一方面，我们希望在拓扑节线材料费米能级处的能带尽可能少，最好是形成半满带或者满带，而铍看起来也满足这一条件。果然，2016 年，拓扑狄拉克节线态在单质金属铍中被发现 <7>，而且还是立即就有实验证据证实的拓扑狄拉克节线态半金属。
图 3. Be 的晶体结构和电子结构图 <7>。(a) 为晶体结构俯视图，Be 原胞中包含两个原子 (粉球和绿球，位于俯视图不同的平面)。从对称性分析，这两个原子在原胞内等价。图 (b) 为 Be 的布里渊区和布里渊区中的高对称点以及投影到 (0001) 表面的二维布里渊区和高对称点。图 (c) 为沿着高对称线的能带结构，crossing A 和 crossing B 为导带与价带的交点。
05
铍的拓扑起源
首先来了解一下铍 Be 金属的晶体结构。如图 3(a) 所示，Be 为简单六角结构，空间群为P63/mmc。图 3(c) 是它的体能带结构，与之前的理论计算结果相同 <21>。从电子能带结构看，在 Γ – M 和 Γ – K 方向都可观察到导带和价带的交点 (crossing A 和 crossing B)，位于费米能级附近。它们并非孤立交点，而是在 kz = 0 面上形成一个闭合的环状拓扑狄拉克节线态，如图 4(a) 所示。
Be 具有中心反演对称性和时间反演对称性，可用时间反演不变点上占据态宇称的方法来计算拓扑不变量 Z2。计算揭示，在 Γ 点上的占据态宇称为 +1，其它七个时间反演不变点上的宇称为 -1，因此其拓扑 Z2 指数为 (1; 0, 0, 0)。也就是说，组成狄拉克节线的 s 轨道和 pz 轨道在 Γ 点发生了能带反转，乃其拓扑起源。
图 4. Be 的电子结构图 <7>。(a) kz = 0 平面的电子结构；(b) (0001) 表面电子能带结构和实验测量结果 <9>。
拓扑节线半金属的一个主要特征是：体狄拉克节线会激发非平庸鼓膜类表面态。金属铍也不例外，如图 4(b) 所示：红色的能带线为鼓膜状表面态，当其投影到 (0001) 表面上时，会在节线内出现拓扑非平庸的表面态。它在表面为电中性时为半占据态、且十分稳定。这个表面态极大增加了费米能级附近的态密度，使得 Be (0001) 面呈现出金属态，且面上费米能级的态密度大约是体相的 5 倍。拓扑狄拉克节线导致的拓扑非平庸表面态正是 Be (0001) 面上表面态大幅偏离近自由电子模型的起因。
其实，早在 2005 年，物理人即通过角分辨光电子能谱实验，探测到这种节线态激发的非平庸鼓膜所形成的环 <22>，如图 5 所示。这与计算结果十分吻合，证明了表面确实存在非平庸鼓膜类的表面态。
图 5. Be (0001) 面的费米面 <7>。(a) Ring A 表示狄拉克节线投影到表面形成的、以Γ(上划线) 点为中心的封闭圆环，Ring B 表示拓扑非平庸半占据表面态。(b) 和 (c) 乃 2005 年实验报道的 ARPES 结果 <22>，证实了 Ring B 的表面态。
图 6. 计算出的金属 Be (0001) 表面屏蔽势的弗里德尔振荡 <7>。左图的红实线为将表面态视为拓扑非平庸的鼓膜状表面态时所得结果，蓝实线为将表面态视为近自由电子的屏蔽势之弗里德尔振荡。右图中 A 表示恒流模式的 STM 图像，B 表示 A 图像的 2D 傅里叶变换 <4>。
06
表面巨大弗里德尔震荡之来源
早在 1997 年，丹麦奥胡斯大学物理与天文学研究所和美国橡树岭国家实验室的物理人即通过 STM 实验揭示：Be (0001) 表面存在电子密度大幅度振荡。这种振荡波幅在费米能级附近反常增强，与弗里德尔振荡电荷屏蔽概念不一致。因此，他们称这种现象为“反常的弗里德尔振荡” <4>。当时，他们猜测出现这种现象的原因是一种多体效应，或者是由电子气造成，也或者是由于晶格振动造成。
所谓弗里德尔振荡，即指杰克斯·弗里德尔 (Jacques Friedel) 所发现的一种现象。如果将一点电荷放入金属中，就形成所谓杂质电荷。考虑远离杂质电荷的过程，此时空间中由此点电荷产生的库仑势强度是在衰减。但是，与真空中库仑势衰减不同，金属中杂质电荷产生的库仑势在库仑屏蔽效应的影响下，随着距离增加会产生周期性振荡，而振幅会随着距离增加而衰减。
在 Be 的 (0001) 表面，拓扑非平庸的表面态在费米面处可近似地视为抛物线色散。由此，Be 的 (0001) 表面上杂质电荷 Ze 诱发的屏蔽势可写作如下形式：
其中 qS 为修正波矢，记作 qS = g m*e2 /κ h2。g 为电子能带的简并因子，对于拓扑费平庸表面态为 g = 1，近自由电子 g 为 2。m* 为电子有效质量，h 为约化普朗克常数 (编者：输入系统所限的非正规符号表示)，κ 为材料介电常数，kF 为费米波矢。关于费米波矢 kF，由于占据数不同，拓扑非平庸的鼓膜状表面态与近自由电子模型下的费米面大小不同。近自由电子的费米波矢为 1.683 Å-1，而 Be (0001) 面拓扑非平庸鼓膜状表面态的平均费米波矢为 0.953 Å-1。该值与实验测量结果 0.945 ± 0.02Å-1很好吻合 <4>。如图6所示，计算的确给出了近自由电子与 Be (0001) 表面拓扑非平庸鼓膜状表面态引起的屏蔽势振荡。事实上，由半填充鼓膜状表面态引起的屏蔽势弗里德尔振荡，其振幅比近自由电子高出许多，证明其表面上巨大弗里德尔振荡产生的本质原因乃来自于体能带中狄拉克节线量子态诱发的拓扑非平庸鼓膜状表面态。
07
鼓膜状表面态与巨大表面电-声耦合
电-声耦合，即电子和晶格振动的相互作用，是一种因电子能量受到偏离周期势场影响而发生改变的现象。电-声耦合在凝聚态物理中普遍存在，与许多有趣的物理性质密切相关。例如，(1) 电-声耦合可影响材料随温度变化的电子能带结构，导致光电子能谱、拉曼和中子实验中经常观察到典型扭结或者 Kohn 异常现象。(2) 电-声耦合还会加强金属随温度变化的电阻，增加半导体材料的载流子迁移速率，当然也会对传统 BCS 超导产生起到决定性作用。除此之外，电-声相互作用耦合了晶格和自旋自由度，也可调节色心自旋的寿命，在自旋电子学和量子信息领域内也有重要应用。
Be 表面是一个二维系统，具有巨大反常电-声耦合增强。实验上，测得的 Be 表面电-声耦合强度高达 1.18 <5>，而 Be 块体电-声耦合强度只有 0.24 <23>，二者存在着巨大差异。Be 表面的这种巨大电-声耦合效应，使 Be 的 (0001) 表面成为表面超导电性研究的理想平台，而其机理也成为关注焦点。
事实上，在 Be 被确认为一种狄拉克节线半金属后，笔者又认识到它的 Be (0001) 表面上既存在狄拉克节线量子态诱发的拓扑非平庸鼓膜状表面态、也存在巨大表面电-声耦合效应。这一现象引起我们的兴趣。
图 7. 薄膜模型中 Be (0001) 表面的电子结构和声子谱 <8>。(a) 和 (b) 分别为 Be (0001) 表面电子与声子在高对称线上的色散曲线对比图。彩色圆点为实验测量值。(c) 和 (d) 分别为 (0001) 表面上电子与声子的态密度 (蓝线) 与体材料中态密度 (红线) 对比图。正文中的K(上划线) 用 K- 表示、M(上划线) 用 M- 表示，以此类推。
为深入研究表面的巨大电-声耦合：
首先，要准确认识 Be 的表面电子结构和表面声子特性。图 7 为 Be (0001) 表面的电子结构和声子谱，它们与实验结果吻合得很好。表面电子结构清晰呈现出拓扑狄拉克节线投影到表面诱发的鼓膜状表面态，并且表面电子态密度图中也显示出表面电子态密度之显著增强。对表面声子谱分析，可以看到表面有一条十分局域的声子振动膜：瑞利波模 (Rayleigh wave mode)。对其振动模分析，可确定此模由最外层原子沿着表面振动构成，属于软模，因此对最外层原子与次外层原子间的晶面距离变化十分敏感。对比 Be (0001) 表面与体材料的声子态密度，还可以发现：表面声子较之体声子在低频区多出两个峰，高频区峰位有向高频偏移的趋势。
其次，要深入解析 Be 表面反常的电-声耦合。先从电-声耦合的基本公式出发，将电子动量、声子动量、不同电子与声子能带进行分离。具体方法见附录 A。通过对电-声耦合方程的拆解，可得到其在每个电子动量或声子动量上伊利艾伯格函数 (α2F) 和电-声耦合强度的空间分布。
图 8. Be (0001) 表面上伊利艾伯格函数 (α2F) 与电-声耦合强度 <8>。
(a) 为 Be (0001) 表面的α2F 在频率区间上的分布。红线为α2F 在频率区间上积分值，表示 Be (0001) 表面上电-声耦合强度。
(b) 为 Be (0001) 表面的薄膜模型 (16个原子层) 中每一条声子带的电-声耦合强度。图中数值为声子带序号，一共包含 48 条声子带。
(c) 为Be (0001) 表面上沿 Γ- - M- 方向的α2F 在频率区间分布。蓝线为本次计算结果，红线为实验测量结果，绿线为之前计算结果。橙线为本次计算结果在频率上的积分，代表这个方向上的电-声耦合强度。这里用 Γ- 表示 Γ(上划线)、用 M- 表示 M(上划线)，以此类推。
接下来，对 Be 表面电-声耦合计算结果进行分析：
首先，计算每一条声子带对电声耦合的贡献。图 8(a) 为伊利艾伯格函数在频率区间的分布。通过对频率区间积分，计算出Be (0001) 表面的电-声耦合强度为 0.947，与实验值 1.18 <5> 十分接近。
其次，对模型中每一条声子带的电-声耦合强度进行解析，如图 8(b) 所示。第一条声子带上的电-声耦合强度最高，达 0.064。这条最低频的声子带为瑞利波模，会产生高的电-声耦合。然而，相对于 Be 表面上总的电-声耦合强度 1.18，这一瑞利波模并没有起到决定性作用，Be 表面巨大电-声耦合效应来自所有声子带集体作用，其中不同颜色的曲线标记各个电-声耦合系数较大的声子模。
再次，还计算了Be 表面上沿 Γ- - M- 方向的 α2F 在频率区间的分布，如图 8(c) 所示。通过与之前计算结果和实验对比发现，尽管之前计算的电-声耦合强度与实验值吻合，但是计算得出的 α2F 在频率区间的分布与实验值存在较大偏差。由图 8(c) 可清晰看到：之前计算结果 (绿线) 与实验测量结果 (红线) 有差异，特别是在 10 THz 处，实验测量的 α2F 展现 2 个波包的谷底，而之前计算却展现一个尖锐波峰。通过精确调整参数，可以解决这一问题，目前最新计算结果 (蓝线) 与实验测量在低频区主要波峰处都能够完美匹配。
至此，表面巨大电-声耦合强度的物理本质仍然未知。基于以上精确计算，可进一步分析非平庸鼓膜类表面态对表面电-声耦合强度的贡献。分析显示，Be 的狄拉克节线投影到 (0001) 表面，诱发拓扑非平庸鼓膜状表面态，并局域在投影的节线内部，从而在费米面上形成一个圆环。通过改变积分形式，可将对电-声耦合强度的积分由对电子动量在整个布里渊区积分变为只在拓扑非平庸的鼓膜状表面态积分。这样，就可得到鼓膜状表面态对电-声耦合强度的贡献。
图 9. (a) Be (0001) 表面上 K- 点上每条声子能带的电-声耦合强度与拓扑非平庸表面态产生的电-声耦合强度。图中蓝点为拓扑非平庸表面态产生的电-声耦合强度，红点为所有电子产生的电-声耦合强度。(b) K- 点上第一条声子带的伊利艾伯格函数在电子动量空间中分布的三维图像。(c) Be 不同路径上的电-声耦合强度 <8>。这里用Γ-表示Γ(上划线)、用 M- 表示M(上划线)，以此类推。
古话说：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。计算结果很出人意料，预示出：任何一条声子模的每一个声子动量 q 上，拓扑非平庸鼓膜状表面态贡献的电-声耦合强度都占了极高比重。整个系统总的电-声耦合强度中，鼓膜状表面的贡献高达 80.2 %，是 Be 表面巨大电-声耦合增强的主要原因。
为了更加直观展示以上计算结果，还可以选 K- 点为例说明。将电-声耦合强度最高的几条声子带上伊利艾伯格函数与几条强度较低的声子带进行比照，再将每一条声子带上伊利艾伯格函数在电子动量空间中的分布画出，如图 9(a) 所示。 K- 点上总的电-声耦合强度，绝大部分来自于拓扑非平庸表面态产生的电-声耦合。为进一步形象说明这个现象，可刻画 α2F 在电子动量空间中的分布，如图 9(b) 所示。这里，第一条声子带的 α2F 在 K- 点上主要分布在鼓膜状表面态位置上，具有较高强度。所以，这部分 α2F 的积分对电-声耦合强度贡献占比最大。
随后，将图 8(b) 中具有较大电-声耦合强度的声子模在 K- 点上对应的α2F 描绘于电子动量空间中，如图 10 所示。为进行对比，同时还表征了低电-声耦合的 31 号声子模分布，如图 10(m) 所示。对所有声子模，伊利艾伯格函数都主要分布在 Be (0001) 面费米能级附近的表面态上。特别要指出，伊利艾伯格函数在拓扑非平庸鼓膜状表面态上的分布要远远高于拓扑平庸表面态上的分布。
以上结果，都说明了拓扑非平庸的鼓膜状表面态是 Be (0001) 表面上出现巨大电-声耦合效应的主要原因。此外，伊利艾伯格函数在动量空间中的分布具有各向异性，如图 9(c) 所示。计算的 Γ- - M- 方向与 Γ- - K- 方向之间不同路径上的电-声耦合强度，变化趋势与实验测量结果吻合。这不仅证实 Be (0001) 表面上的电-声耦合强度确实具有各向异性，还再一次验证了计算方法的可靠性。
08
表面巨大反常层间向外弛豫
另外，这一工作也关注金属铍 (0001) 表面存在巨大反常向外弛豫问题。一般地，如果把金属断裂成两半，那么断裂面最外层原子一般要向金属内部方向收缩，即最外层原子与里层原子的层间距要收缩。这种现象容易理解，因为至少有一半的原子间键合在一个方向全部断开，表面最外层原子会向没有断开方向收缩进去，导致其层间距缩短。
有趣的是，实验和计算均揭示：铍与大多数金属向里收缩现象相反，它 (0001) 面最外层原子是向外弛豫的，导致最外层间距反常增大。迄今为止，铍是所有金属中存在这种反常向外弛豫现象最大的一种金属，其反向扩展高达 5.8 % <24>。初步认为，这一反常与其非平庸拓扑表面态有关系，笔者正挣扎于其中根源。
图 10. 共计 16个原子层厚的 Be (0001) 表面费米能级截面和 K- 点几条不同声子带上的伊利艾伯格函数在电子动量空间中分布 <8>。这里用K-表示K(上划线)。
09
结语
简单总结一二：Be (0001) 表面电子严重偏离近自由电子气模型，存在巨大弗里德尔振荡，产生巨大表面电-声耦合效应。这些独特性质的本质原因，可归结为体能带中的狄拉克节线量子态。这一工作不仅解决了长久以来困扰于金属 Be 的谜题，也解释了备受关注的 Be (0001) 表面巨大电-声耦合效应的产生机理，证实狄拉克节线量子态确实具有产生巨大表面电-声耦合效应的潜力。这些结果看起来为拓扑节线半金属材料的应用提供了一些启示。
放眼望去，毫无疑问，从拓扑物理到拓扑材料，用十年左右时间获得当前的进展，是值得欣慰的。事实上，计算和实验几近完美一致，似乎促进了这一领域的快速发展。我们相信，这一领域将会继续向前。
参考文献
<1> Jack Schubert, Beryllium and Berylliosis, Scientific American 199, 2 (1958).
<2> Ralph Puchta, A brighter beryllium, Nature Chemistry 3, 416 (2011).
<3> R. A. Bartynski, E. Jensen, T. Gustafsson, and E. W. Plummer, Angle-resolved photoemission investigation of the electronic structure of Be: Surface states, Phys. Rev. B 32, 1921 (1985).
<4> P. T. Sprunger, L. Petersen, E. W. Pulmmer, E. Laegsgaard, and F.Besenbacher, Giant Friedel oscillations on the Beryllium (0001) surface, Science 275, 1764 (1997).
<5> M. Hengsberger, D. Purdie, P. Segovia, M. Garnier, and Y. Baer, Photoemission study of a strongly coupled electron-phonon system, Phys. Rev. Lett. 83, 592 (1999).
<6> Peter J. Feibelman, First-principles calculation of the geometric all electronic structure of the Be(0001) surface, Phys. Rev. B 46, 2532 (1992).
<7> R. Li, H. Ma, X. Cheng, S. Wang, D. Li, Z. Zhang, Y. Li, and X. -Q. Chen, Dirac node lines in pure alkali earth metals. Phys. Rev. Lett. 117, 096401 (2016).
<8> R. Li, J. Li, J.X. Liu, L. Wang, H. F. Song, D. Li, Y. Li, and X. -Q. Chen, Underlying topological Dirac nodal line mechanism of the anomalously large electron-phonon coupling strength on a Be (0001) surface. Phys. Rev. Lett. 123, 136802 (2019).
<9> E. W. Plummer and J. B. Hannon, The surfaces of beryllium. Prog. Surf. Sci. 46, 149 (1994).
<10> Eugene Paul Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in thenatural sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics 13(1), 114 (1960).
<11> D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential. Phys. Rev. Lett. 49,405 (1982).
<12> C. L. Kane and E. J. Mele, Quantum spin Hall effect in graphene. Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005).
<13> B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and S. C. Zhang, Quantum spin Hall effect and topological phase transition in HgTe quantum wells. Science 314, 1757 (2006).
<14> L. Fu and C. L. Kane, Topological insulators with inversion symmetry. Phys .Rev. B 76, 045302 (2007).
<15> Z. Wang, A. Alexandradinata, R. J. Cava & B. Andrei Bernevig, Hourglass fermions. Nature 532, 189 (2016).
<16> B. J. Wieder et al. Wall paper fermions and the nonsymmorphic Dirac insulator. Science 361, 246 (2018).
<17> Z. Wang, Y. Sun, X. -Q. Chen, Cesare Franchini, G. Xu, H. Weng, X. Dai, and Z. Fang. Dirac semimetal andtopological phase transitions in A3Bi (A=Na, K, Rb), Phys. Rev. B 85, 195320 (2012).
<18> X. Wan, A. M. Turner, A. Vishwanath, and S. Y. Savrasov, Topological semimetal and Fermi-arc surface states in the electronic structure of pyrochlore iridates, Phys. Rev. B 83, 205101 (2011).
<19> A. A. Burkov, M. D. Hook, and Leon Balents, Topological nodal semimetals, Phys. Rev. B, 84, 235126 (2011).
<20> B. Bradlyn, J. Cano, Z. Wang et al. Beyond Dirac and Weyl fermions: Unconventional quasiparticles in conventional crystals. Science 353, 6299 (2016).
<21> M. Y. Chou, P. K. Lam, and M. L. Cohen, Ab initio study of structural and electronic properties of beryllium. Phys. Rev. B. 28, 4179 (1983).
<22> I. Vobornik, J. Fujii, M. Mulazzi, G. Panaccione, M. Hochstrasser, and G. Rossi, Surface electron bands and Fermi surface of Be(0001), Phys. Rev. B 72, 165424 (2005).
<23> G. Grimvall, The electron-phonon interaction in metals (North-Holland, New York, 1981).
<24> H. L.Davis, J. B. Hannon, K. B. Ray, and E. W. Plummer, Anomalous interplanar expansion at the (0001) surface of Be, Phys. Rev. Lett. 68, 2632 (1992).
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附录
封 面
金属铍 (0001) 表面电-声夫妇在由拓扑节线激发的非平庸鼓膜表面态上的舞蹈
备注：
(1) 笔者供职于沈阳材料科学国家研究中心、中国科学院金属研究所。
(2) 题头小诗乃 Ising 所撰，表达拓扑之于物理乃山水之于生命的景象。
(3) 本文从开始构思到成文，经历了很长一段时间。特别感谢陈星秋老师对我们的指导和帮助、给我们提供写作素材和相关文献、最后又以认真严谨的工作态度对文章反复推敲和润色。文章顺利完成也有赖于李荣汉师兄和李江旭师兄的补充和修改建议。
点击https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.123.136802查看论文原文。
